Διεξαγωγή μαθήματος

Ώρες Διδασκαλίας

Τρίτη 11:00-14:00

Ώρες Ασκήσεων

Τετάρτη 15:00-17:00

Ανακοινώσεις

• Το μάθημα αρχίζει την Τρίτη 04 Οκτωβρίου 2022 σύμφωνα με το πρόγραμμα.

Διδασκόμενη ύλη

Διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης

Εισαγωγικές έννοιες. Το πρόβλημα των αρχικών τιμών. Η έννοια της γενικής λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης. Διαχωρίσιμες εξισώσεις, ομογενείς εξισώσεις πρώτης τάξης. Ακριβείς εξισώσεις και ολοκληρωτικοί παράγοντες. Εξίσωση Bernoulli. Απλές εφαρμογές.

Διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης

Γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Μη ομογενείς εξισώσεις με απλά δεύτερα μέλη. Εξισώσεις Euler, ομογενείς και μη ομογενείς. Δευτεροτάξιες εξισώσεις που ανάγονται σε πρωτοτάξιες λόγω συμμετρίας.

Η διαφορική εξίσωση του Νεύτωνα

Εφαρμογές στα βασικά προβλήματα της Μηχανικής. Κίνηση με διάφορους νόμους τριβής στο ομογενές πεδίο βαρύτητας. Ελεύθερη αρμονική κίνηση με ή χωρίς τριβή. Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με ή χωρίς τριβή. Ηλεκτρικά ανάλογα των μηχανικών προβλημάτων.

Γενική μελέτη των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, Γενικές Έννοιες και Τεχνικές

Αρχή της επαλληλίας. Γραμμική ανεξαρτησία και εξάρτηση. Η Βρονσκιανή και οι χρήσεις της. Υπολογισμός της δεύτερης λύσης όταν η μία είναι ήδη γνωστή. Ελάττωση τάξης. Πλήρης λύση της μη ομογενούς όταν οι λύσεις της ομογενούς είναι γνωστές.

Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές ανώτερης τάξης

Ομογενείς, μη ομογενείς

Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές

Η μέθοδος της απαλοιφής και η μέθοδος της εκθετικής αντικατάστασης. Μέθοδοι επίλυσης με χρήση μητρών. Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης και εφαρμογές σε προβλήματα συζευγμένων ταλαντώσεων και ηλεκτρικών κυκλωμάτων.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές

Μέθοδος των δυναμοσειρών. Από την σειρά Taylor στην σειρά Frobenius. Παραδείγματα. Σύγκλιση δυναμοσειράς και ιδιόμορφα σημεία.

Μαθησιακά αποτελέσματα

Η ύλη του μαθήματος περιλαμβάνει την μελέτη συνήθων διαφορικών εξισώσεων τόσο γραμμικών όσο και μη γραμμικών. Οι μαθησιακοί στόχοι τους οποίους οι φοιτητές στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να έχουν επιτύχει είναι οι εξής:

1. Λύση απλών διαφορικών εξισώσεων πρώτης και δεύτερης τάξης.
2. Μεθοδολογία επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ανώτερης τάξης.
3. Χρησιμοποίηση των γνώσεων αυτών για την λύση φυσικών προβλημάτων κυρίως από τα πεδία της μηχανικής και του ηλεκτρισμού.

Γενικές ικανότητες

• Ενίσχυση μαθηματικού υποβάθρου του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.
• Ανάπτυξη κριτικής σκέψης στην επίλυση προβλημάτων Φυσικής και Χημείας
• Προαγωγή της δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Σημειώσεις

–

Αξιολόγηση φοιτητών

Η αξιολόγηση των φοιτητών γίνεται με

1. μία προαιρετική πρόοδο (30%)
2. τελική γραπτή εξέταση (70%) που περιλαμβάνει:
   • Επίλυση Ασκήσεων Διαφορικών Εξισώσεων που καλύπτουν όλο το φάσμα της ύλης.
   • Επίλυση ενός προβλήματος. Οι φοιτητές καλούνται να βρουν την Διαφορική Εξίσωση που περιγράφει το φυσικό πρόβλημα και να την επιλύσουν με βάση τις αρχικές συνθήκες. Το πρόβλημα προάγει την κριτική και δημιουργική σκέψη τους.

Βιβλιογραφία

Οι διαλέξεις ακολουθούν το Πανεπιστημιακό σύγγραμμα:

• Σ. Τραχανάς, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο (2002)

Οι φοιτητές ενθαρρύνονται επίσης να ανατρέξουν και στην παρακάτω βιβλιογραφία για περαιτέρω εξάσκηση στην επίλυση Ασκήσεων Διαφορικών Εξισώσεων:

1. Θωμάς Κυβεντίδης, Διαφορικές εξισώσεις, Τόμος Ι, ΖHTH 1996 Θεσ/νίκη
2. Σ. Τραχανάς, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο (2001)
3. W.E. Boyce, R.C. Di Prima, Στοιχειώδεις Διαφορικές Εξισώσεις και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα (1999)
4. G.F. Simmons, Differential Equations with Applications and Historical Notes, McGraw-Hill (1991)