ETY-213 Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙI
Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

Διδάσκων

Σταμάτης Σταματιάδης

email: stamatis@materials.uoc.gr
τηλέφωνο: 2810394284
γραφείο: Γραφείο B-201, Κτήριο Επιστήμης Υπολογιστών
ώρες γραφείου: Τρίτη 13:00-16:00

Ώρες και Αίθουσες Διδασκαλίας

Θεωρία: Δευτέρα 09:00-11:00, Αιθ. 2, Κτίριο Φυσικής.
Εργαστήριο: Δευτέρα 16:00-19:00, στο εργαστήριο υπολογιστών, αιθ. ΗΥ 2, στο Κτίριο Φυσικής.

Ανακοινώσεις

29 Ιανουαρίου 2018: Το μάθημα αρχίζει τη Δευτέρα 5 Φεβρουαρίου, σύμφωνα με το πρόγραμμα.
13 Φεβρουαρίου 2018: Από τις 26 Φεβρουαρίου και μετά, το εργαστήριο θα γίνεται κάθε Δευτέρα στις 16:00-19:00.
12 Μαρτίου 2018: Η πρόοδος θα δοθεί τη Δευτέρα 23 Απριλίου, στις 16:00, στο εργαστήριο ΗΥ. Η θεωρία εκείνης της ημέρας δεν θα γίνει.

Αντικείμενο –Σκοπός

Το μάθημα ασχολείται με τη διαδικασία αριθμητικής επίλυσης διαφόρων φυσικών προβλημάτων στον υπολογιστή ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα

Διατύπωση μαθηματικού μοντέλου,
Αριθμητική ανάλυση και ανάπτυξη αλγορίθμων,
Υλοποίηση, εκτέλεση και μελέτη αποτελεσμάτων.

Το μάθημα απευθύνεται σε φοιτητές Φυσικού και ΤΕΤΥ που γνωρίζουν μαθηματικά Α' έτους (Γενικά Μαθηματικά Ι & ΙΙ, Μαθηματικά για Φυσικούς Ι / Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Διαφορικές Εξισώσεις Ι) και προγραμματισμό ΗΥ σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραμματισμού.

Διδακτέα Ύλη

Η διδακτέα ύλη του μαθήματος περιλαμβάνει

Αναπαράσταση αριθμών στον υπολογιστή. Πρότυπα ακεραίων (IEEE Integer) και αριθμών κινητής υποδιαστολής (ΙΕΕΕ floating point), όρια αναπαράστασης και εξαιρετικές τιμές. Αριθμητικά σφάλματα. Σταθερά μηχανής. Πειραματικά σφάλματα δεδομένων. Σφάλματα αποκοπής, στρογγύλευσης και αλγορίθμου. Υπο- και υπέρ-εκχύλιση.
Aριθμητική επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων. Eντοπισμός διαστήματος ρίζας. Mέθοδος της διχοτόμησης. Γενική επαναληπτική μέθοδος. Mέθοδος Newton-Raphson και μέθοδος τέμνουσας. Αλγόριθμοι και προβλήματα σύγκλισης στις παραπάνω μεθόδους. Εναλλακτικές μέθοδοι για αύξηση ακρίβειας και ταχύτητας σύγκλισης.
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Απαλοιφή Gauss (Τριγωνοποίηση και οπισθοδρόμηση, μερική και ολική οδήγηση). Ανάλυση LU. Επαναληπτικές μέθοδοι: Gauss-Seidel, Jacobi, SOR. Εφαρμογές: Yπολογισμός ορίζουσας, αντίστροφου πίνακα, ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων.
Aριθμητική παρεμβολή. Mέθοδος παρεμβολής κατά Lagrange για μη ισαπέχοντα σημεία. Μέγιστο σφάλμα παρεμβολής. Προσέγγιση παραγώγων.
Προσαρμογή ευθείας γραμμής σε πειραματικά δεδομένα με τη μέθοδο Eλαχίστων Tετραγώνων. Προσαρμογή πολυωνυμικής, λογαριθμικής και εκθετικής καμπύλης. Συντελεστής γραμμικής συσχέτισης.
Aριθμητική ολοκλήρωση. Kανόνες Tραπεζίου και Simpson. Mέθοδος Gauss για μη ισαπέχοντα σημεία. Aλγόριθμοι, επιλογή βήματος, ακρίβεια μεθόδων και σφάλματα.
Aριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Mέθοδοι Euler, Tραπεζίου, Euler-Tραπεζίου, Taylor, Runge-Kutta 2ης και 4ης τάξης. Aλγόριθμοι, συγκρίσεις, σφάλματα. Yπολογιστική προσομοίωση.
Συστήματα διαφορικών εξισώσεων α' βαθμού. Κανονικοποίηση διαφορικών εξισώσεων ανώτερου βαθμού. Αρμονικός ταλαντωτής.

Διδακτικά Βοηθήματα

Κεντρικό ρόλο στην ανάπτυξη του μαθήματος παίζει η ιστοσελίδα του με σχετικές ανακοινώσεις, εργαστηριακές ασκήσεις και άλλο υλικό. Η διδασκαλία του μαθήματος βασίζεται στις διαλέξεις και στις εργαστηριακές ασκήσεις.

Συνοπτική αλλά πλήρης ανάπτυξη της ύλης γίνεται στις σημειώσεις. Οι σημειώσεις αυτές ακολουθώνται στις διαλέξεις.

Εξετάσεις

Στο μάθημα γίνονται ένδεκα εργαστήρια. Η παρουσία είναι προαιρετική. Η ενεργός συμμετοχή στο εργαστήριο μετρά θετικά.

Επειδή η Θεωρία και το Εργαστήριο σχετίζονται αρκετά, συνιστάται ιδιαίτερα η παρακολούθηση και των διαλέξεων και των εργαστηρίων. Οι διαλέξεις μέσα από παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε την ύλη που παραδόθηκε, ώστε να προετοιμαστείτε γιά την πρόοδο και τις εργαστηριακές ασκήσεις στον υπολογιστή.

Πρόοδος

Στο μάθημα δίνεται προαιρετική πρόοδος. Η εξεταστέα ύλη της προόδου περιλαμβάνει τα κεφάλαια 2-4 των σημειώσεων. Συγκεκριμένα:

Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων
Επίλυση γραμμικών συστημάτων και εφαρμογές
Προσέγγιση-Παρεμβολή συναρτήσεων

Τελική εξέταση

Η εξεταστέα ύλη της τελικής εξέτασης περιλαμβάνει όλη την ύλη, δηλαδή την ύλη της προόδου και τα κεφάλαια 5,7 των σημειώσεων. Συγκεκριμένα:

Αριθμητική ολοκλήρωση, κεφ. 5
Διαφορικές Εξισώσεις: τις παραγράφους 7.1,7.2,7.4,7.5,7.8

Διαδικασία εξέτασης

Η εξέταση περιλαμβάνει μόνο ασκήσεις και γίνεται σε δύο μέρη διάρκειας 60 λεπτών το καθένα: θεωρία και εργαστηριακές ασκήσεις (στον υπολογιστή). Κατά την εξέταση της θεωρίας μπορείτε να έχετε μαζί σας μία σελίδα Α4 με όποιες σημειώσεις θέλετε. Το κομπιουτεράκι είναι απαραίτητο. Κατά την εξέταση του εργαστηρίου είστε ελεύθεροι να χρησιμοποιήσετε τις σημειώσεις ή οποιοδήποτε βιβλίο.

ΚΙΝΗΤΑ ΤΗΛΕΦΩΝΑ ΑΠΑΓΟΡΕΥΟΝΤΑΙ.

Τελικός βαθμός

O τελικός βαθμός υπολογίζεται από

το βαθμό της προόδου (40% του συνολικού βαθμού).
το βαθμό της τελικής εξέτασης (60% του συνολικού βαθμού).

Παρατηρήσεις

Αν ο βαθμός στην τελική εξέταση είναι μεγαλύτερος από το βαθμό της προόδου (ή αν ο φοιτητής δεν συμμετείχε στην πρόοδο), ο βαθμός της τελικής εξέτασης μετρά κατά 100%.

Αν ο βαθμός της προόδου είναι πολύ μεγαλύτερος (κατά την κρίση του εξεταστή) από το βαθμό της τελικής εξέτασης, δεν υπολογίζεται στη διαμόρφωση του τελικού βαθμού.

Ο βαθμός της προόδου δεν υπολογίζεται στο βαθμό της επαναληπτικής εξεταστικής (Σεπτεμβρίου).

Θέματα Εξετάσεων και Προόδων

Έτος	Πρόοδος	Τελική εξέταση	Επαναληπτική εξέταση
2005-2006		A	A
2006-2007	A	A	A
2007-2008	Α Β Γ	Α Β Γ Δ	A
2008-2009	A	A	A
2009-2010	A	A	A
2010-2011	A	A	A
2011-2012	A	A	A
2012-2013	A	A	A
2013-2014	A	A
2014-2015	A	A
2015-2016	A	A
2016-2017	A	A Β

Διαλέξεις

Πρώτη: Διαδικαστικά. Δυαδικό σύστημα, αναπαράσταση ακεραίων και πραγματικών, συνέπειες (σφάλμα, διάδοση σφάλματος, ευστάθεια, χάος).
Δεύτερη: Εύρεση ριζών: Μέθοδοι διχοτόμησης, ψευδούς θέσης, τέμνουσας.
Τρίτη: Εύρεση ριζών: Μέθοδοι Müller, σταθερού σημείου, Newton-Raphson, Halley
Τέταρτη: Γραμμικά συστήματα: Cramer, Gauss, Gauss-Jordan, LU
Πέμπτη: Γραμμικά συστήματα: Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, αντίστροφος πίνακας, ορίζουσα, ιδιοτιμές.
Έκτη: Προσέγγιση συναρτήσεων: Πολυώνυμο, σφάλμα, φαινόμενο Runge, λόγος πολυωνύμων, Padé, ευθύγραμμα τμήματα, spline.
Έβδομη: Προσέγγιση: παράγωγοι, ελάχιστα τετράγωνα.
Όγδοη: Μη γραμμικά συστήματα - Επανάληψη.
Ένατη: Πρόοδος
Δέκατη: Ολοκλήρωση: μέθοδοι τραπεζίου, Simpson 1/3 και 3/8. μέθοδος Romberg, μέθοδοι Gauss.
Ενδέκατη: Διαφορικές Εξισώσεις: μέθοδοι Τaylor, Εuler (explicit και implicit), Runge-Kutta 2 και 4ης τάξης. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης.

Ασκήσεις Εργαστηρίου

Βιβλιογραφία

Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, "Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς", έκδοση 7η. Εκδόσεις Τζιόλα. 2016.
Γ. Δ. Ακρίβης και Β.Α. Δουγαλής, "Εισαγωγή στην Aριθμητική Aνάλυση", Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2015, 4^η έκδοση.
Μπακόπουλος Α. και Ι. Χρυσοβέργης, «Εισαγωγή στην Aριθμητική Aνάλυση», Εκδ. Συμεών, 1996.
Σ. Περσίδης και X. Bάρβογλης, «Aριθμητική Aνάλυση με Eφαρμογές στη Φυσική», Θεσσαλονίκη, (1984).
Kincaid, D. and Cheney, W. «Mathematics of Scientific Computing», 3^rd eds., Brooks/Cole, 2002.
Ι. D. Kahaner, C. Moler, S. Nash, «Numerical methods and software», Prentice Hall, (1989).

Πληθώρα άλλων βιβλίων Αριθμητικής Ανάλυσης υπάρχουν στη βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου Κρήτης ή σε ηλεκτρονική μορφή στο Διαδίκτυο.

Δωρεάν Compilers της Fortran

SilverFROST FTN95 έκδοση για Windows Οδηγίες χρήσης
GNU Fortran έκδοση για Windows ή MacOS

ETY-213 Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙIΕισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση